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@Juan Para factorizar el $x^2 - 6x+9$, como es una cuadrática, buscas las raíces, que en este caso es únicamente $x=3$, y por eso te queda factorizado como $(x-3)(x-3) = (x-3)^2$. Y como bien vos dijiste, se podría haber usado L'Hopital en este caso y veias que eso tendía a $0$ sin necesidad de factorizar nada (sólo sabiendo derivar) :)
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@Valentin Hola Valen! Eso apareció porque hicimos esta cuenta:
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Si, perfecto! Muchas gracias.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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4.
Calcular los siguientes límites
c) $\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}}$
c) $\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}}$
Respuesta
Ups, y esto 😱
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$\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}}$
Lo del paréntesis es el límite que calculamos recién en el item anterior y nos dio $1$... y el exponente tiende a $\infty$! Si, tenemos una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito" así que la salvamos igual que como vimos en sucesiones, mismos pasos:
$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12} - 1)^{\frac{2}{x-3}} $
$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{x^2 - 6x + 9}{4 x-12})^{\frac{2}{x-3}} $
Si factorizas el cociente que calculamos recién nos queda...
$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{(x-3)^2}{4(x-3)})^{\frac{2}{x-3}} $
$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{x-3}{4})^{\frac{2}{x-3}} $
Y efectivamente comprobamos que tenemos nuestro "1 + algo que tiende a cero" en el paréntesis! Ahora agregamos lo que necesitamos en el exponente:
$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} [(1 + \frac{x-3}{4})^{\frac{4}{x-3}}]^{ \frac{x-3}{4} \cdot \frac{2}{x-3}} $
El corchete tiende a $e$ y el exponente, simplificando tiende a $\frac{1}{2}$, por lo tanto...
$\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}} = e^{\frac{1}{2}} $
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Sarasino
26 de septiembre 17:47
naaa flor te pasaste otro que lo resolvi sin ver esto antes hoy aprendi a factorizar jjaja y me salio a la primera, no veo la hora de usar l hopital o algo asi jajaj, encima rindo el 9 pero si vengo bien calculo que alcanzo a ver todo
Juan
2 de mayo 21:22
Buenas! Consulta, luego de hacer la resta de 1 con el polinomio se hace la factorizacion, pero no entiendo bien como llegas a ese resultado. Se puede hacer igualmente con L'Hopital, no? Por si acaso pregunto igual para saberme manejar sin la propiedad esa.
Flor
PROFE
2 de mayo 22:59
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Valentin
1 de mayo 19:54
Hola! No termino de entender porque en el primer paso, en el numerador aparece el -6x + 9, o sea por lo que veo se multiplico por 3 el -2x-3 pero no entiendo por qué.
Flor
PROFE
2 de mayo 10:15
$\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12} - 1 = \frac{x^2 - 2 x - 3 - (4x-12)}{4x-12}= \frac{x^2 - 6x + 9}{4 x-12}$
Ahí lo ves?
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Valentin
2 de mayo 16:59
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