Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

Anterior Siguiente
4. Calcular los siguientes límites
c) $\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}}$

Respuesta

Ups, y esto 😱

$\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}}$

Lo del paréntesis es el límite que calculamos recién en el item anterior y nos dio $1$... y el exponente tiende a $\infty$! Si, tenemos una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito" así que la salvamos igual que como vimos en sucesiones, mismos pasos:

$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12} - 1)^{\frac{2}{x-3}} $

$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{x^2 - 6x + 9}{4 x-12})^{\frac{2}{x-3}} $

Si factorizas el cociente que calculamos recién nos queda...

$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{(x-3)^2}{4(x-3)})^{\frac{2}{x-3}} $ $ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (1 + \frac{x-3}{4})^{\frac{2}{x-3}} $

Y efectivamente comprobamos que tenemos nuestro "1 + algo que tiende a cero" en el paréntesis! Ahora agregamos lo que necesitamos en el exponente:

$ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} [(1 + \frac{x-3}{4})^{\frac{4}{x-3}}]^{ \frac{x-3}{4} \cdot \frac{2}{x-3}} $

El corchete tiende a $e$ y el exponente, simplificando tiende a $\frac{1}{2}$, por lo tanto...

$\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}} = e^{\frac{1}{2}} $
Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
Avatar Ezequiel 1 de diciembre 13:55
Buenas Profe, el exponente no tendería a +♾️? En el inicio me refiero. 
Avatar Flor Profesor 1 de diciembre 15:08
@Ezequiel Hola Eze! Siii, efectivamente es $+\infty$

Yo le puse simplemente "infinito" porque, a los fines de darnos cuenta que estábamos frente a una indeterminación de tipo 1 elevado a infinito, no importaba si el exponente tendia a + o a - infinito, solo que se esté yendo a infinito (cualquier signo) :)
Avatar Ezequiel 3 de diciembre 22:45
@Flor jajaja, oks.
Avatar Sarasino 26 de septiembre 17:47
naaa flor te pasaste otro que lo resolvi sin ver esto antes hoy aprendi a factorizar jjaja y me salio a la primera, no veo la hora de usar l hopital o algo asi jajaj, encima rindo el 9 pero si vengo bien calculo que alcanzo a ver todo 

Avatar Flor Profesor 27 de septiembre 09:03
@Sarasino Vamosssssss 😍
Avatar Juan 2 de mayo 21:22
Buenas! Consulta, luego de hacer la resta de 1 con el polinomio se hace la factorizacion, pero no entiendo bien como llegas a ese resultado. Se puede hacer igualmente con L'Hopital, no? Por si acaso pregunto igual para saberme manejar sin la propiedad esa.
Avatar Flor Profesor 2 de mayo 22:59
@Juan Para factorizar el $x^2 - 6x+9$, como es una cuadrática, buscas las raíces, que en este caso es únicamente $x=3$, y por eso te queda factorizado como $(x-3)(x-3) = (x-3)^2$. Y como bien vos dijiste, se podría haber usado L'Hopital en este caso y veias que eso tendía a $0$ sin necesidad de factorizar nada (sólo sabiendo derivar) :)
Avatar Valentin 1 de mayo 19:54
Hola! No termino de entender porque en el primer paso, en el numerador aparece el -6x + 9, o sea por lo que veo se multiplico por 3 el -2x-3 pero no entiendo por qué.
Avatar Flor Profesor 2 de mayo 10:15
@Valentin Hola Valen! Eso apareció porque hicimos esta cuenta:

$\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12} - 1 = \frac{x^2 - 2 x - 3 - (4x-12)}{4x-12}= \frac{x^2 - 6x + 9}{4 x-12}$

Ahí lo ves?
Avatar Valentin 2 de mayo 16:59
Si, perfecto! Muchas gracias.
¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse